[2014년 백석고]

--

[1학년 1학기 중간]

[eqn: (2x^3 - x^2 -5x+1)(ax^2 +3x-1)]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: -5], [eqn: x]의 계수는 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값은?

④

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+4=0]의 두 근은 [eqn: alpha], [eqn: beta]이고, [eqn: 4x^2 +ax+b=0]의 두 근은 [eqn: 1overalpha], [eqn: 1overbeta]일 때, [eqn: a-b]의 값은?

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

다항식 [eqn: x^20 -1]을 [eqn: x^2 - 2x+1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(2)]의 값은?

④

① [eqn: -10]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 30]

사차방정식 [eqn: x^4 - 3x^3 - x^2 +9x-18=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하고, 두 허근을 [eqn: gamma], [eqn: delta]라 할 때, [eqn: (1-alphabeta) (gamma^2 +delta^2 )]의 값은?

②

① [eqn: -26]	② [eqn: -14]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 26]

[eqn: a>b]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b=3], [eqn: ab=1]이 성립할 때,
[eqn: {a^6 -b^6 }over6]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24sqrt5]

④ [eqn: 48sqrt5]	⑤ [eqn: 60sqrt5]

복소수 [eqn: z= {sqrt {-2} ( sqrt {-3} + sqrt {2} )} over {1+ sqrt {-1}} - {sqrt {2} ( sqrt {3} - sqrt {-2} )} over {1- sqrt {-1}}]에서 [eqn: z]의 실수부분을 [eqn: a], 허수부분을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: 2a^2 +b^2]의 값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

다항식 [eqn: f(x) = x^3 +3x^2 +4x+5]일 때, [eqn: f(99)]의 값의 각 자리 숫자의 합은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = (2n-1)i^n]이라 할 때,
[eqn: f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(100)]
을 간단히 하면 [eqn: a+bi]이다. [eqn: 2a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이고, [eqn: i=sqrt-1]이다.)

④

① [eqn: 25]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 300]

상수 [eqn: a_0], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_14], [eqn: a_15]에 대하여 등식
[eqn: (2x^3 - x)^5 = a_0 +a_1 x+a_2 x^2 +cdots+a_15 x^15]
이 [eqn: x]값에 관계없이 항상 성립할 때,
[eqn: a_1 +3a_3 +5a_5 -7(a_6 +a_8 +cdotsa_14 )]의 값은?

③

① [eqn: -12]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= {cases{-x ^{2} +4x-3```(1<x<3)#x ^{2} -4x+3```(x LEQ 1,```x GEQ 3)}}]에 대하여 방정식
[eqn: f(x) - x+k=0]이 서로 다른 세 개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

②

① [eqn: 5over4]	② [eqn: 7over4]	③ [eqn: 9over4]

④ [eqn: 11over4]	⑤ [eqn: 13over4]

삼차방정식 [eqn: x^3 +1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: baromega]는 [eqn: omega]의 켤레복소수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: 1+omega^2 +omega^4 =0]	ㄴ. [eqn: omega^100 + 1overomega^100 = 1]

ㄷ. [eqn: 1-omega overomega^2 + 1+omega^2 overomega = 0]	ㄹ. [eqn: {{baromega}^2}over1+omega + omega^2 over{1+baromega} = -1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

연립방정식 [eqn: cases{(x-2)(y-2)=1#x^2 +y^2 +xy=11]의 해가 [eqn: x= alpha], [eqn: y=beta]일 때, [eqn: alpha-beta]의 최댓값은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 실수이다.)

④

① [eqn: sqrt3]	② [eqn: 2sqrt2]	③ [eqn: 3sqrt3]

④ [eqn: 4sqrt2]	⑤ [eqn: 5sqrt3]

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 [eqn: -1 le alpha<beta le 3]을 만족할 때, 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

③

ㄱ. [eqn: a^2 >4b]

ㄴ. [eqn: 2a-b>4]

ㄷ. [eqn: -6 <a<2]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③  ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차함수 [eqn: f(x) = x^2 - 3x-4]의 그래프와 [eqn: x]축은 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. 이차함수 [eqn: g(x) = -3x^2 +ax+2a]의 그래프와 [eqn: x]축이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점 중 한 점은 선분 [eqn: rmAB] 위에 있고, 다른 한 점은 선분 [eqn: rmAB] 위에 있지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 값들의 합은? (단, 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프의 교점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0]이 아니다.)

①

① [eqn: 22]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 14]

서술형

다항식 [eqn: f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x+p]를 다항식 [eqn: g(x) = x^2 - qx-3]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 하자. 다항식 [eqn: g(x)]와 다항식 [eqn: R(x)]가 모두 [eqn: x-3]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여, [eqn: R(pq)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: -3]

복소수 [eqn: z=a+bi]에 대한 다음 물음에 답하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

(1) [eqn: a=0]

(2) [eqn: 2] 또는 [eqn: -5]

(1) [eqn: z^2]이 음의 실수이기 위한 [eqn: a], [eqn: b]의 조건을 구하고,

그 과정을 서술하시오.

(2) [eqn: z=(1+i)x^2 +(3-5i)x-(10-6i)]에 대하여 [eqn: z^2]이

음의 실수가 되도록 실수 [eqn: x]의 값을 구하고 그 과정을

서술하시오.

[eqn: -1 le x le 3]에서 이차함수 [eqn: y=ax^2 -4ax+b]의 최댓값이 [eqn: -3], 최솟값이 [eqn: -6]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: a>0]이면 [eqn: a= {1} over {3}], [eqn: b=- {14} over {3}]이고
[eqn: a<0]이면 [eqn: a=- {1} over {3}], [eqn: b=- {13} over {3}]이다.

어느 폐수처리장에 들어오는 폐수의 양은 매일 일정하다고 한다. 그런데 시설장비에 문제가 생겨 며칠 동안 폐수를 처리하지 못하고 쌓여있다고 한다. 이 폐수 처리 시설을 하루 [eqn: 24]시간 내내 가동하면 폐수를 [eqn: 5]일 만에 모두 처리할 수 있고, 하루 [eqn: 20]시간씩 가동하면 [eqn: 7]일 만에 모두 처리할 수 있다고 한다. 한 시간에 처리하는 폐수의 양은 같으며, 쌓여 있는 폐수를 처리하는 동안에도 매일 일정한 양의 폐수가 들어온다고 한다. 이 때 이 시설장비를 이용하여 하루에 [eqn: 15]시간씩 처리하면 총 며칠이 걸리는지를 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 14]

[2014년 백석고]

[1학년 1학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com